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Pressions critiques de flambage dans des tubes pliables pertinents pour les flux biomédicaux
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Pressions critiques de flambage dans des tubes pliables pertinents pour les flux biomédicaux

Jun 12, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 9298 (2023) Citer cet article

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Le comportement des vaisseaux effondrés ou sténosés dans le corps humain peut être étudié au moyen de géométries simplifiées comme un tube pliable. L'objectif de ce travail est de déterminer la valeur de la pression critique de flambement d'un tube affaissé en utilisant la théorie de transition de phase de Landau. La méthodologie est basée sur la mise en œuvre d'un modèle numérique 3D validé expérimentalement d'un tube pliable. La pression critique de flambement est estimée pour différentes valeurs de paramètres géométriques du système en traitant la relation entre la pression intra-muros et l'aire de la section centrale comme la fonction de paramètre d'ordre du système. Les résultats montrent la dépendance des pressions critiques de flambage sur les paramètres géométriques d'un tube pliable. Des équations générales non dimensionnelles pour les pressions critiques de flambement sont dérivées. L'avantage de cette méthode est qu'elle ne nécessite aucune hypothèse géométrique, mais elle est uniquement basée sur la constatation que le flambage d'un tube affaissé peut être traité comme une transition de phase du second ordre. Les paramètres géométriques et élastiques étudiés sont sensibles pour une application biomédicale, avec un intérêt particulier pour l'étude de l'arbre bronchique dans des conditions physiopathologiques comme l'asthme.

La possibilité d'étudier le transport de masse dans le corps humain, que ce soit dans le cas de l'air ou du sang, en termes de modèles mathématiques et numériques représente l'un des exemples les plus fructueux du rapprochement entre la médecine et l'ingénierie. L'application des modèles de dynamique des fluides computationnelle (CFD), d'interaction fluide-structure (FSI) et d'aéroacoustique a remarquablement amélioré la compréhension des conditions physiopathologiques du système circulatoire1, du système respiratoire2, 3, du processus de production de la voix4 et du système cérébrovasculaire5, parmi les autres. La validité des résultats obtenus au moyen de tels modèles numériques doit être confirmée par des campagnes expérimentales au cas par cas. La variété et la complexité géométrique des vaisseaux humains peuvent rendre cette étape cruciale extrêmement difficile. À cet égard, des modèles simplifiés comme les tubes pliables6,7,8 sont encore largement utilisés à la fois dans les modèles numériques et dans la pratique clinique. Malgré la géométrie simplifiée, la phénoménologie d'un tube pliable est suffisamment riche pour saisir les mécanismes physiques les plus pertinents des vaisseaux effondrés9. La dynamique d'un tube pliable dépend essentiellement de la pression dite intramurale qui est définie comme la différence de pression entre l'intérieur (la lumière) et l'extérieur du tube. En présence d'écoulement de fluide, une contribution supplémentaire due à l'accélération de l'écoulement près de la constriction, résultant en une région de pression statique négative, doit être prise en compte. Lorsque la pression externe augmente (c'est-à-dire que la pression intramurale devient négative), le tube commence à s'effondrer. Pour une valeur critique de la pression intra-muros, le tube subit un phénomène de flambement se traduisant par une section à deux lobes (cf. Fig. 1). Une telle valeur est appelée pression critique de flambage et joue un rôle majeur dans l'évaluation et le diagnostic de nombreuses pathologies impliquant des sténoses et des constrictions10,11,12. Dans cette configuration, de petites variations de la pression intramurale entraîneraient de grandes variations de la surface de la lumière. Si la pression externe continue d'augmenter (ou si la pression interne continue de diminuer en raison de l'accélération du débit), les parois internes du tube se toucheront (voir Fig. 1) et finiront par entraîner la fermeture complète de la lumière. Une estimation précise et spécifique au patient de la pression critique de flambage permet de prendre des décisions cliniques plus éclairées. Un exemple est donné par la pression critique de flambement du pharynx pour les patients atteints d'apnée obstructive du sommeil (OSA). Le SAOS est la pathologie la plus courante dans le spectre des troubles respiratoires du sommeil13. Les patients atteints d'AOS subissent un effondrement récurrent du pharynx pendant le sommeil, provoquant une apnée qui affecte gravement la qualité de vie des patients. L'évaluation de la gravité de la pathologie et le choix du traitement dépendent fortement des valeurs de la pression critique de flambage du pharynx14. Cependant, son estimation nécessite que les patients passent la nuit à l'hôpital et soient surveillés en permanence, ce qui entraîne une expérience assez intrusive pour le patient et un impact économique élevé sur le système de santé15.

D'un point de vue plus quantitatif, ce problème peut être formulé en termes de loi dite du tube, c'est-à-dire la relation entre la pression intramurale et l'aire de la section centrale du tube pliable (voir Fig. 1). Il est important de remarquer que cette relation est valable en absence de flux. Le cercle bleu de la figure 1 met en évidence la région où la transition se produit. Lorsque la pression intra-muros négative augmente en valeur absolue, la transition vers la configuration de flambement se produit d'abord. La section transversale en forme de sablier réduit rapidement sa valeur jusqu'au contact de la lumière. Dans le contexte de la loi du tube, il est possible d'énoncer les questions de recherche comme suit : est-il possible d'estimer la valeur exacte de la pression critique de flambage dans la zone bleue de la figure 1 à partir des propriétés géométriques et élastiques du tube pliable ? ? Comment ces valeurs dépendent de telles propriétés ? Est-il possible de trouver des équations générales capables d'estimer la pression critique de flambage pour les tubes pliables pertinents pour les flux biomédicaux ?

Un exemple de loi du tube (à droite). Le cercle bleu indique la région où se produisent les transitions de flambement. A gauche, les coupes relatives au régime pré-flambage, post-flambage et post-contact sont présentées. L'aire est normalisée sur la section centrale correspondant à la configuration de repos.

Fait intéressant, le problème de la pression critique de flambement a déjà été abordé au début des années 1900 par von Mises16 (pour un traitement en anglais, il est possible de consulter le livre de Timoshenko17) qui a dérivé l'équation suivante pour une section de flambement à deux lobes :

Dans cette équation, E est le module d'Young, \(\nu\) est le coefficient de Poisson, \(\gamma =h/D\) où h est l'épaisseur de la paroi et D est le diamètre interne, et \(d =l_0/D\) où \(l_0\) est la longueur au repos du tube. La dérivation analytique de cette équation repose cependant sur des hypothèses géométriques fortes. La première hypothèse sur la géométrie cylindrique parfaite du système entrave son application à des géométries plus réalistes. Deuxièmement, comme elle s'appuie sur la théorie des coques minces, cette équation surestime la valeur de la pression critique pour la gamme de paramètres d'intérêt pour les écoulements biomédicaux18 (voir « Pression critique de flambage » ). De plus, les vaisseaux humains sont soumis à un pré-étirement19 considérable (jusqu'à \(60\%\) de la longueur d'origine pour le système respiratoire20) qui n'est pas pris en compte dans l'Eq. (1). Par conséquent, l'analyse de la loi du tube a fait l'objet de plusieurs études et est actuellement extrêmement pertinente d'un point de vue technique21 et clinique22. Plusieurs dérivations analytiques de la loi du tube, sous différentes hypothèses, ont été proposées. Whittaker et al.23 ont étudié la dynamique d'un long tube pliable pré-étiré à paroi mince subissant une pression isotrope intramurale. Les équations résultantes ne sont valables que sous l'hypothèse de petites déformations. Shapiro et ses collaborateurs ont analysé le comportement du tube pliable en présence de l'écoulement de fluide stable24 et instable25, et son application à la médecine26 et à l'analyse des phénomènes de propagation des ondes27. Conrad a proposé un modèle à paramètres localisés pour décrire la dynamique d'un tube pliable comme une résistance non linéaire contrôlée par le débit28. Un autre modèle à paramètres localisés a été proposé par Bertram29 pour décrire le comportement complexe d'interaction fluide-structure d'un tube pliable. En raison de la géométrie relativement simple du système, l'étude expérimentale des tubes pliables a une longue histoire. La première observation expérimentale de l'apparition d'oscillations veineuses auto-excitées a été rapportée en 1824 par D. Barry (voir la revue historique de Bertram30 pour plus de détails). Plus récemment, la dynamique non linéaire des tubes à paroi mince a été étudiée sous une pression externe instable par Kumar et ses collaborateurs21. Gregory et al.31 ont utilisé la stéréoscopie à plusieurs caméras pour déterminer une loi de tube généralisée empirique pour un tube à paroi mince subissant différentes prétensions axiales. Ces données expérimentales32 ont été utilisées pour la validation expérimentale des résultats du présent travail. Malgré un corpus aussi impressionnant qui a largement clarifié de nombreux aspects du comportement des tubes pliables, l'estimation de la pression critique de flambement reste une question ouverte. Les effets des paramètres pertinents tels que le pré-étirement axial, l'épaisseur de paroi et la longueur du tube sur la loi du tube ont été étudiés expérimentalement par Bertram33. Plus récemment, Kozlovsky et al.34 ont utilisé un modèle numérique 2D validé expérimentalement pour étudier les effets de l'épaisseur de paroi sur le comportement post-flambement d'un tube pliable en l'absence d'écoulement. Dans leurs travaux, la pression critique de flambement a été estimée à partir de la loi du tube au moyen d'une méthode graphique qui consiste à trouver l'intersection entre les deux régions linéaires reliées par le coude lisse au début du flambage (la région bleue de la Fig. 1 ). Zarandi et ses collaborateurs ont analysé les effets de la longueur du tube sur la pression critique de flambage des tubes pliables35 en l'absence d'écoulement. Dans ce travail, l'estimation de la pression critique de flambage a été effectuée en obtenant d'abord un ajustement linéaire de la loi du tube avant le flambage, puis en le déplaçant d'une quantité arbitraire. Fait intéressant, leurs résultats ne sont pas qualitativement en accord avec l'équation. (1) car ils calculent la dépendance de la pression critique sur le rapport longueur-diamètre comme \(p^{crit}_{buckl}\sim d^{-3.3}\) qui confirment encore la nécessité d'investigations supplémentaires.

En résumé, les deux principaux problèmes qui entravent de nouvelles avancées significatives dans ce domaine et, par conséquent, la possibilité d'étendre ces analyses à la pratique clinique sont les suivants :

Une analyse minutieuse de la loi du tube (comme celle esquissée à la Fig. 1) montre que la transition entre l'état pré- et post flambage d'un tube pliable est continue. Par conséquent, l'estimation de la pression critique réelle n'est pas triviale et n'a été effectuée qu'en utilisant des critères graphiques ou heuristiques difficilement généralisables.

La plupart des approches de modélisation dépendent fondamentalement d'hypothèses géométriques fortes telles que des tubes cylindriques parfaits ou des anneaux élastiques 1D. De plus, le pré-étirage axial est généralement négligé.

Dans ce travail, une nouvelle méthode basée sur la théorie des transitions de phase de Landau36 pour déterminer la valeur de la pression critique de flambement à partir de l'analyse de la loi du tube est proposée. L'hypothèse principale est que la transition d'un tube pliable à l'état de flambement peut être décrite comme une rupture de symétrie spontanée. Cette hypothèse a été récemment consolidée dans les travaux de Turzi37 qui ont prouvé que le comportement de flambage d'un anneau élastique sous l'action d'une pression extérieure uniforme est une transition de phase du second ordre. La méthodologie du présent travail est basée sur la mise en œuvre d'un modèle numérique 3D validé expérimentalement d'un tube pliable. La sortie de ces simulations consiste en un ensemble de lois de tubes obtenues en couvrant une gamme de valeurs pour les paramètres géométriques des tubes pliables qui sont pertinents pour les applications biomédicales. Une technique de post-traitement basée sur la théorie des transitions de phase est utilisée pour estimer la pression critique de flambage. La dépendance aux paramètres géométriques de la pression critique de flambement obtenue en utilisant cette technique est comparée à l'Eq. (1). Enfin, en utilisant les variables non dimensionnelles proposées par Gregory et al.31, un ensemble d'équations générales pour la pression critique de flambement et de contact est présenté.

Ce travail vise à étudier la faisabilité de la méthode proposée pour estimer la pression critique de flambement dans le cas le plus simple d'un tube cylindrique pliable en l'absence d'écoulement de fluide. Cette hypothèse n'empêche pas l'exhaustivité de la description physique du problème. En effet, l'un des principaux avantages de cette méthode est qu'elle peut être généralisée sans autres hypothèses à des cas plus complexes impliquant des FSI et des géométries réalistes, qui feront l'objet d'un travail futur.

L'objectif du modèle numérique est de prédire le champ vectoriel de déplacement d'un tube écrasant dont la paroi externe est soumise à une pression isotrope vers l'intérieur. La géométrie du tube est décrite en termes de trois paramètres adimensionnels : le rapport longueur sur diamètre d, le rapport épaisseur sur diamètre \(\gamma\), et le rapport, à savoir l, entre la longueur obtenue après l'imposition d'un pré-étirement axial et la longueur au repos. Pour rendre l'analyse pertinente pour les vaisseaux humains, les valeurs de ces paramètres géométriques ont été sélectionnées à l'aide du modèle de Horsfield19 et des travaux de Hoppin20 (encadré bleu sur la Fig. 2a). Comme le montre la figure 2a, les vaisseaux humains sont généralement caractérisés par une faible valeur de d (c'est-à-dire qu'ils sont relativement courts par rapport à leur diamètre) et une large gamme de valeurs d'épaisseur. Remarquablement, le pré-étirement axial peut atteindre des valeurs allant jusqu'à 60 % de la longueur d'origine20 et, par conséquent, ne peut pas être négligé dans le schéma de modélisation. Les simulations numériques sont réalisées en utilisant le logiciel commercial Siemens Star-CCM+. Pour tout triplet \((d,\gamma , l)\) de paramètres géométriques (points noirs sur la Fig. 2a), une réplique 3D du tube correspondant est implémentée à l'aide du logiciel de CAO intégré. Pour contrôler la direction du flambement, la section transversale du domaine est conçue comme une ellipse avec un rapport d'axes égal à 0,99 (voir Fig. 2b). Étant donné que la simulation vise à capturer le comportement avant et après flambage du système, le tube est modélisé comme un matériau hyperélastique néo-hookéen pour tenir compte d'un tel régime de déformations importantes (voir "Analyse de sensibilité" pour une comparaison avec la théorie de l'élasticité linéaire). Le matériau est traité comme presque incompressible. Le maillage a été généré en employant une opération de volume structuré, en utilisant comme surface d'entrée l'un des petits côtés du domaine. Le domaine de calcul est discrétisé avec deux couches radiales et 50 couches longitudinales de mailles hexaédriques. La direction angulaire est divisée en 64 éléments (voir Fig. 2b). Le choix des éléments hexaédriques assure une estimation correcte des grandes déformations même avec des éléments finis linéaires38. Le pas de temps est fixe pour toute la simulation et il est de \(\Delta t = 0.1\) s avec un schéma de marche du second ordre. Chaque pas de temps est divisé en 10 itérations internes du solveur pour assurer la bonne convergence de la solution. Dans le cadre d'une simulation de mécanique purement solide, la convergence est mesurée en terme d'erreur résiduelle de la version discrétisée des équations différentielles résolues. Le solveur utilisé dans cette étude estime cette erreur r pour chaque élément du maillage, puis calcule sa racine carrée moyenne comme \(R_{rms}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _n r^2}\ ), où n est le nombre de mailles. Cette valeur est calculée pour chacune des 10 itérations internes dans un pas de temps puis normalisée. Le nombre d'itérations internes a été choisi de manière à ce que l'erreur résiduelle à la fin de chaque pas de temps soit de l'ordre de \(R_{rms}\sim 10^{-14}\)–\(10^{ -16}\) qui assure une excellente convergence de la solution numérique. Les conditions aux limites du problème sont imposées comme suit : un petit côté du domaine est bloqué, c'est-à-dire qu'aucun mouvement n'est autorisé sur toute la section. L'autre petit côté du domaine est pré-étiré d'une quantité qui dépend de la valeur du paramètre géométrique l. Successivement, la position de ce petit côté obtenue à la suite du pré-étirement est maintenue fixe pour le reste de la simulation. Sur la paroi externe du domaine (c'est-à-dire la surface cylindrique) une pression positive isotrope est imposée, résultant en une pression intra-muros négative. La valeur de la pression externe augmente linéairement dans le temps (voir "La loi du tube" pour plus de détails), provoquant d'abord le flambage du tube et enfin le contact de la paroi interne. Le contact est géré au moyen d'un plan virtuel répulsif pour éviter la pénétration de la paroi. Lorsque les parois internes s'approchent du contact, le plan exerce une force dans le sens de sa normale et les parois vont donc s'appuyer sur le plan sans se pénétrer.

(Panneau de gauche) Distribution des valeurs des paramètres géométriques étudiés dans ce travail. Les points noirs sont relatifs aux simulations, tandis que les points rouges font référence aux données expérimentales de Gregory et al.31. La boîte bleue représente l'espace des valeurs possibles admises dans les modèles de Horsfield19 et Hoppin20. (Panneau de droite) Esquisse du maillage utilisé dans les simulations numériques. Pour contrôler la direction du flambage, la section radiale du tube est une ellipse de petit axe aligné avec la direction verticale et de longueur 0,99r.

Dans la sous-section suivante, la méthode de post-traitement pour calculer la loi du tube est décrite. Successivement, une analyse de sensibilité en termes d'étude de convergence du maillage, de conditions aux limites et de choix de modélisation est présentée. Enfin, la validation expérimentale des résultats numériques est discutée.

La loi du tube décrit la relation entre la pression intra-muros et l'aire de la section centrale d'un tube pliable. La pression intra-muros est définie comme la différence entre la pression interne et externe, à savoir :

En raison de l'absence de débit de fluide, la pression intra-muros n'est déterminée que par la valeur de la pression externe, car la pression manométrique est fixée à zéro et \(p_{int}=0\). La pression extérieure est isotrope et croît linéairement dans le temps selon la relation suivante

où \(p_{max}>0\) est la valeur maximale de la pression extérieure et \(t\in [0,\tau ]\). Une étude de sensibilité en termes de rapport \(p_{max}/\tau\) est présentée dans "Analyse de sensibilité" . A chaque pas de temps, la valeur de \(p_{intr} = -p_{ext}\) est enregistrée. La section centrale du tube sera la plus affaissée puisqu'il s'agit de la section radiale la plus éloignée des faces contraintes. Pour déterminer la valeur de l'aire, les coordonnées radiales \((r_i^j, \vartheta _i^j)\) du périmètre déformé correspondant sont enregistrées à chaque pas de temps, où l'indice \(i=1,\dots ,N\) marque les éléments de maillage et N est le nombre total d'éléments de maillage sur le périmètre. L'indice \(j=1,\dots ,M\) correspond au j-ième pas de temps et M est le nombre total de pas de temps nécessaires pour que la pression extérieure atteigne la valeur \(p_{max}\) dans Eq . (3). L'aire \(A^j\) de la section centrale peut alors être calculée comme suit :

Les deux ensembles \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\) définissent une loi de tube. Pour chaque triplet de paramètre géométrique \((d,\gamma ,l)\) indiqué sur la figure 2, une loi de tube est calculée à l'aide de l'équation. (4) à partir de la simulation numérique correspondante. Dans "Pression critique de flambage", une technique de post-traitement basée sur la théorie des transitions de phase sera introduite pour déterminer la valeur de la pression critique de flambage à partir de la loi du tube.

Une analyse de convergence de grille est nécessaire pour déterminer le maillage le plus efficace capable d'obtenir des résultats fiables. L'étude est réalisée en modifiant le nombre d'éléments de maillage dans les directions radiale, angulaire et longitudinale. Des détails sur les spécifications de maillage peuvent être trouvés dans le tableau 1. L'évaluation des différentes grilles est effectuée par comparaison des lois de tubes correspondantes. Les résultats sont présentés sur la Fig. 3. Comme cela ressort particulièrement de l'analyse des éléments angulaires (voir Fig. 3a), le maillage grossier ne prédit pas correctement la transition de flambement et devient instable dans la région de contact. Pour toutes les analyses suivantes, le maillage intermédiaire a été utilisé. Avec ce choix, le temps de simulation sur 128 cœurs est d'environ quinze minutes.

Analyse de sensibilité du maillage du modèle numérique.

Pour s'assurer que le calcul de la loi du tube n'est pas influencé par la pente de la rampe pour la pression extérieure décrite par l'Eq. (3), une analyse de sensibilité en termes de rapport \(p_{max}/\tau\) est effectuée. En particulier, en fixant la valeur de \(p_{max}=4000\) Pa, trois valeurs différentes de \(\tau \in (10 \, \text { s}, 5 \, \text { s}, 2,5 \, \text { s})\) sont étudiés, correspondant à des taux de pression de \((400 \, \text { Pa/s}, 800 \, \text { Pa/s}, 1600 \, \text { Pa /s})\), respectivement. Les résultats sont interprétés en fonction des lois de tubes correspondantes. La valeur de \(p_{max}\) a été choisie pour être pertinente pour l'analyse des conditions respiratoires pathologiques. En effet, dans des conditions respiratoires normales la perte de charge entre les conduits alvéolaires et la bouche est de l'ordre de 2000 Pa39. Cependant, en cas d'expiration forcée, elle peut varier de 4000 à 10000 Pa40, selon la taille du patient41. Dans le cas de l'asthme, les patients présentent souvent une expiration forcée avec présence d'une respiration sifflante dans cette gamme de pressions, qui est liée à l'affaissement des voies respiratoires pulmonaires42. Comme le montre la figure 4a, la résolution de pression associée à un taux de pression de 1600 Pa/s est trop grossière pour capturer le comportement du tube à la fois en phase de flambage et de contact. Pour toutes les analyses suivantes, la plus grande valeur de \(\tau\), correspondant à 400 Pa/s est utilisée.

(Panneau de gauche) Analyse de la dépendance du modèle à la rampe de pression externe. (Panneau de droite) Comparaison des lois du tube obtenues en utilisant l'élasticité linéaire et le modèle d'élasticité néo-hookéen.

Pour tenir compte des grandes déformations impliquées dans le comportement complet avant et après flambage d'un tube pliable, un matériau hyperélastique doit être utilisé43. Dans cette analyse, une loi matérielle néo-hookéenne a été mise en œuvre. Le potentiel d'énergie de déformation correspondant se lit

où \(I_1\) est la trace (premier invariant) du tenseur de déformation de Cauchy-Green droit, J est le déterminant du tenseur du gradient de déformation, et

où \(\nu\) et E sont respectivement le coefficient de Poisson et le module de Young. La valeur de ces deux paramètres élastiques est \(\nu =0.49\) et \(E=1\) MPa. La masse volumique du tube est \(\rho =1000\) kg m\(^{-3}\). Ces valeurs ont été estimées dans les travaux de Gregory31 comme étant pertinentes pour l'analyse des conduits dans les poumons humains. Comme discuté dans la sous-section suivante, le modèle néo-hookéen est capable de reproduire les résultats expérimentaux. La comparaison entre les lois de tube obtenues avec un matériau néo-hookéen et un matériau élastique linéaire isotrope est présentée sur la figure 4b. En utilisant le modèle élastique linéaire, la simulation devient instable et incapable de capturer la loi du tube dans la région post-flambement. La raison en est à rechercher dans les grandes déformations impliquées dans le processus. Bien qu'il puisse être intéressant d'étudier la sensibilité des résultats obtenus vis-à-vis d'autres lois hyperélastiques44,45,46, l'emploi de l'élasticité néo-hookéenne a montré une remarquable convergence numérique (voir "Modèle numérique et méthodes") et il est capable de reproduire les résultats expérimentaux (voir Fig. 5). De plus, d'autres lois matérielles pourraient nécessiter une analyse de paramétrage supplémentaire par rapport à la loi néo-hookéenne, dont les coefficients peuvent être directement calculés à partir du coefficient de Poisson et du module de Young à l'aide de l'équation. (6). Par conséquent, l'élasticité néo-hookéenne sera employée dans la suite du traitement et la comparaison des résultats vis-à-vis de différentes lois matérielles fera l'objet d'un travail futur.

La validation expérimentale des résultats obtenus par le modèle numérique est effectuée par comparaison avec les données expérimentales (publiques) fournies par Gregory31, 32. Dans le banc expérimental utilisé, un tube pliable est d'abord pré-étiré puis serré. La valeur de la pression intramurale est abaissée à l'aide d'une seringue et contrôlée avec un manomètre. Les valeurs correspondantes de l'aire de la section transversale centrale sont calculées en analysant les images prises par un système de caméra à partir de plusieurs positions (plus de détails peuvent être trouvés dans l'article original31).

Validation du modèle numérique par comparaison avec des données expérimentales31, 32. Pour estimer les barres d'erreur, l'aire initiale est mesurée 3 fois. La longueur des barres d'erreur est égale à la différence absolue entre les valeurs maximale et minimale correspondantes.

La validation est effectuée en comparant les lois du tube obtenues expérimentalement et par le modèle numérique. Pour chaque tube utilisé dans la comparaison, une réplique numérique (représentée par les points rouges sur la Fig. 2a) est implémentée dans Star-CCM+ à l'aide du logiciel de CAO intégré. Les mêmes conditions aux limites (pré-étirage axial et serrage) sont imposées. La plage de pression intra-muros explorée avec les simulations actuelles est plus large et inclut celle correspondante utilisée dans les expériences. Sur la figure 5, la comparaison avec quatre géométries de tube différentes et les valeurs de pré-étirement sont rapportées. Le comportement avant et après flambage du système est bien capturé par le modèle numérique.

Dans cette section, une méthode pour déterminer la valeur de la pression critique de flambage à partir de la loi du tube est présentée. L'hypothèse principale est que le phénomène de flambement d'un tube pliable est une rupture de symétrie spontanée et, par conséquent, peut être traité comme une transition de phase du second ordre. Une transition de phase du second ordre se produit lorsque le système atteint de manière continue (et non instantanée) un nouvel état de symétrie réduite47. L'observation phénoménologique selon laquelle une pression externe isotrope génère une forme de section voilée qui n'est pas invariante en rotation confirme cette hypothèse. De plus, comme le montre la loi du tube (voir le cercle bleu sur la Fig.1), la transition de l'état pré- à l'état post-flambage se produit de manière continue. De façon plus rigoureuse (et inspirée de problèmes biophysiques), Turzi37 a démontré que le phénomène de flambage d'un anneau élastique étirable subissant une pression isotrope est une transition de phase du second ordre. Bien que la translittération rigoureuse de ces résultats obtenus sur un anneau 1D vers un tube pliable 3D pré-étiré dépasse le cadre de ce travail, l'analogie phénoménologique entre le comportement de flambage d'un anneau et de la section centrale d'un tube pliable a largement établie48. Cette analogie a été exploitée à plusieurs reprises pour étendre les résultats analytiques 1D au traitement des tubes pliables 3D49, 50. Dans l'économie du présent travail, cependant, cette observation ne sert qu'à confirmer davantage l'hypothèse principale de la méthode, à savoir que le flambage du tube pliable est une transition de phase du second ordre. La méthodologie décrite dans la sous-section suivante, en effet, ne nécessite aucune simplification géométrique et peut être étendue sans autre hypothèse à des géométries réalistes inspirées des conduits et vaisseaux humains associés aux systèmes respiratoire et circulatoire, même en présence d'écoulement de fluide.

Le traitement thermodynamique des transitions de phase du second ordre nécessite l'introduction de deux objets mathématiques principaux : le paramètre d'ordre, \(\alpha\), et le potentiel de Landau, \(\varphi\), du système36 (un exemple courant de Landau potentiel est l'énergie libre du système). Le paramètre d'ordre est une fonction d'une variable thermodynamique différente de zéro avant la transition et égale à zéro après la transition. Un exemple typique est l'aimantation en fonction de la température dans la transition ferromagnétique-paramagnétique. L'hypothèse principale de cette formulation de la théorie du champ moyen est l'absence de corrélations à longue portée dans le domaine. De plus, le potentiel de Landau est tenu de respecter les mêmes symétries des équations différentielles qui décrivent l'évolution du système et d'être analytique dans le paramètre d'ordre et son gradient36. Par conséquent, dans la région de transition, le potentiel de Landau peut être étendu de Taylor en termes de paramètre d'ordre \(\alpha\) comme

où \(c_1>0\) et \(c_2 >0\) sont des constantes, \(\xi\) est une variable thermodynamique et \(\xi _{crit}\) est la valeur critique pour \(\xi \) à laquelle la transition se produit. La minimisation du potentiel de Landau donne une équation pour le paramètre d'ordre :

Cette équation admet deux solutions (voir Fig. 6a) :

(Panneau de gauche) Tracé de l'équation. (9) pour \(\xi _{crit}=1\) et \(\xi <\xi _{crit}\). (Panneau de droite) Détail de la région de transition de flambement prétraitée dans la loi du tube ajustée avec l'équation. (dix). L'analogie entre les deux tracés confirme la validité de l'hypothèse.

Par conséquent, si la relation entre le paramètre d'ordre \(\alpha\) et la variable thermodynamique \(\xi\) dans un petit voisinage de la transition est connue, il est possible d'estimer la valeur de \(\xi _{crit }\) au moyen de l'équation. (9). La principale limite de cette approche est qu'elle fournit une description purement phénoménologique de la transition, négligeant par exemple le traitement des fluctuations. Néanmoins, il peut être utilisé efficacement pour étudier les points critiques de la transition de phase, ce qui est exactement la portée de ce travail. Une couche supplémentaire de complexité doit être prise en compte lors de l'examen des problèmes d'élasticité. Bien que l'énergie de déformation connue a priori du système puisse jouer le rôle d'un potentiel de Landau, il ne s'agit plus d'une fonction mais d'une fonctionnelle définie sur un espace de dimension infinie. Dans les travaux de Turzi37, il a effectué une réduction rigoureuse de l'énergie élastique à un potentiel de Landau de dimension finie pour étudier les phénomènes de flambement de nombreux systèmes élastiques, dont un anneau extensible 1D subissant une pression isotrope externe. De plus, il montre que la surface fermée de l'anneau est fonction du paramètre d'ordre. Ces observations peuvent être utilisées dans le cadre de ce travail pour estimer la pression critique de flambage d'un tube écrasant à partir de la loi du tube. Suivant Turzi, l'aire de la section transversale centrale du tube peut être utilisée comme une fonction représentative du paramètre d'ordre. La relation entre le paramètre d'ordre et la pression intra-muros \(p_{intr}\) (qui joue le rôle de la variable \(\xi\) dans l'équation (9)) peut donc être analysée à l'aide de la loi du tube. La méthodologie consiste en une procédure d'ajustement de la loi du tube avec une généralisation de l'Eq. (9) capable de s'adapter à une portion plus large de la loi du tube, car cette relation n'est valable que dans un petit voisinage de la transition. Parmi les nombreuses extensions de l'Eq. (9) proposée dans la littérature51, la fonction suivante a montré les meilleurs résultats (voir Fig. 6b)

où \(A_{crit}\) est la valeur de l'aire correspondant à la pression critique de flambement \(p_{crit}=-\tilde{p}_{crit}\), \(c_1>0\) et \ (c_2>0\) sont deux paramètres libres, \(\tilde{p}=-p_{intr}\), et \(\beta >0\) est un paramètre libre supplémentaire, généralement appelé exposant critique. Les résultats de cette analyse ont été obtenus selon la procédure suivante :

Pour tout triplet \((d,\gamma , l)\) de paramètres géométriques (c'est-à-dire pour tout point de données de la Fig. 2a), le modèle numérique correspondant est implémenté selon "Modèle numérique et méthodes".

La loi du tube correspondante, c'est-à-dire les deux ensembles \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), est calculé comme indiqué dans "La loi du tube" .

La loi du tube est pré-traitée. Étant donné que la présente analyse se concentre sur la pression de flambement, la région de la loi du tube concernant le contact est négligée. De plus, la pression intra-muros est redéfinie en termes de \(\tilde{p}=-p_{intr}\). Un exemple du tracé correspondant est représenté par la ligne noire continue sur la figure 6b.

Un algorithme Python utilisant la fonction scipy.optimize.curve_fit52 est utilisé pour ajuster la loi de tube prétraitée avec Eq. (10) (ligne rouge pointillée sur la Fig. 6b). La valeur de \(A_{crit}\) est optimisée pour maximiser la qualité de l'ajustement. Les valeurs des paramètres \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) avec les variances correspondantes sont extraites.

Dans la sous-section suivante, les résultats de cette analyse et la dépendance de la pression critique de flambement sur les paramètres géométriques sont discutés.

La procédure algorithmique introduite dans la section précédente permet d'étudier la dépendance de la pression critique de flambement sur les paramètres géométriques d'un tube affaissé. Afin de capturer le comportement post-contact complet du système, la pression intra-muros maximale est fixée à \(p_{max}=8000\) Pa et \(\tau =20\) s, correspondant à une résolution en pression de 40 Pa (voir équation (3)). Tout d'abord, la dépendance au rapport longueur/diamètre d est étudiée. Les valeurs numériques des paramètres \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) obtenues par la procédure d'ajustement et la variance correspondante se trouvent dans les données supplémentaires. La valeur moyenne des exposants critiques est \(\bar{\beta }=0,55\pm 0,07\), ce qui est cohérent avec la valeur attendue de l'exposant de l'équation. (9). Les valeurs des pressions critiques obtenues pour \(d\in (3,3.5,4,4.5,5,5.5,6)\) sont représentées sur la Fig. 7a. La relation entre \(p_{crit}\) et le rapport longueur/diamètre d est obtenue par une procédure d'ajustement utilisant la fonction suivante

où A, B, C sont des paramètres libres. Cette fonction modèle imite la même dépendance fonctionnelle de \(p_{crit}\) sur d décrite par Eq. (1) et dans l'ouvrage de Zarandi35. Les valeurs résultantes sont répertoriées dans le tableau 2. Les autres paramètres géométriques sont fixés à \(l=1,1\) et \(\gamma =0,06\). Fait intéressant, l'exposant B obtenu avec la méthode présentée correspond presque à l'erreur près avec celui de l'équation de von Mises (1), alors que Zarandi a estimé une valeur de -3,3. Cependant, comme le montre la Fig. 7a, l'Eq. (1) surestime la valeur de la pression critique de flambement dans la gamme des paramètres d'intérêt pour les vaisseaux humains. Les différences par rapport aux résultats obtenus par Zarandi trouvent probablement leur origine dans la définition heuristique de la pression critique de flambage employée dans ses travaux35. Dans le contexte de la théorie des transitions de phase, Eq. (11) évalué à l'aide des paramètres listés dans le tableau 2 définit la frontière entre l'état de non-flambage et l'état de flambage pour le tube pliable en termes de rapport longueur-diamètre (voir Fig. 7b pour le diagramme de phase correspondant \((d , p_{intr})\)). Une visualisation des lois du tube analysées en couvrant le paramètre d est disponible sur la Fig. 8.

(Panneau de gauche) Comparaison entre les données de simulation ajustées avec Eq. (11) et l'équation de von Mises. (Panneau de droite) Diagramme de phase pour la transition de phase de flambement en termes de rapport longueur-diamètre d.

Lois du tube obtenues en enjambant la valeur du rapport longueur-diamètre d. Les points noirs représentent la valeur des pressions critiques de flambage et les aires correspondantes estimées pour les différentes lois du tube.

Considérons maintenant la dépendance de la pression critique de flambement sur le rapport épaisseur/diamètre \(\gamma\). Les valeurs numériques des paramètres \((c_1, c_2, {\tilde{p}}_{crit}, \beta )\) de l'ajustement avec Eq. (10) et les variances correspondantes sont répertoriées dans les données supplémentaires. La valeur moyenne des exposants critiques est \(\bar{\beta }=0,5\pm 0,04\), ce qui est cohérent avec l'équation. (9). Les valeurs des pressions critiques obtenues pour \(\gamma \in (0,05, 0,06,0,07,0,08,0,09)\) sont présentées sur la figure 9a. La relation \(p_{crit}=p_{crit}(\gamma )\) est obtenue par une procédure d'ajustement utilisant la fonction suivante

où A et B sont des paramètres libres. Cette fonction modèle suit la même dépendance fonctionnelle pour \(\gamma\) décrite dans l'équation. (1). Les valeurs résultantes sont listées dans le tableau 2. Les autres paramètres géométriques sont fixés à \(l=1.1\) et \(d=3\). La comparaison entre le modèle de von Mises et les résultats obtenus dans ce travail est illustrée à la Fig. 9a. Pour les valeurs des paramètres géométriques étudiées dans ce travail (voir Fig. 2a), l'équation de von Mises surestime clairement la valeur de la pression critique de flambement. La raison se trouve dans l'hypothèse du modèle de von Mises qui utilise la théorie de la coque mince. En effet, l'écart augmente pour des valeurs élevées de \(\gamma\). De même que dans l'analyse précédente, Eq. (12) définit la frontière entre l'état de flambage et l'état de non flambage dans le diagramme de phases \((\gamma , p_{intr})\) (voir Fig. 9b). Une visualisation des lois du tube analysées en couvrant le paramètre \(\gamma\) est disponible sur la Fig. 10.

(Panneau de gauche) Comparaison entre les données de simulation ajustées avec Eq. (12) et l'équation de von Mises. (Panneau de droite) Diagramme de phase pour la transition de phase de flambement en termes de rapport épaisseur-diamètre \(\gamma\).

Lois du tube obtenues en enjambant la valeur du rapport épaisseur-diamètre \(\gamma\). Les points noirs représentent la valeur des pressions critiques de flambage et les aires correspondantes estimées pour les différentes lois du tube.

Enfin, la dépendance de la pression critique de flambement sur le rapport longueur axiale de pré-étirage sur diamètre l est analysée. Les valeurs numériques des paramètres \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) de l'ajustement avec Eq. (10) et les variances correspondantes sont répertoriées dans les données supplémentaires. La valeur moyenne des exposants critiques est \(\bar{\beta }=0,55\pm 0,05\), ce qui est à nouveau cohérent avec l'exposant de l'équation. (9). Les valeurs des pressions critiques obtenues pour \(l\in (1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8)\) sont présentées sur la figure 11a. La relation \(p_{crit}=p_{crit}(l)\) est obtenue par une procédure d'ajustement utilisant la fonction suivante

où A, B, C sont des paramètres libres. Cette fonction a été choisie en observant que la valeur de la pression critique devient asymptotiquement constante pour une valeur de l plus élevée. Les valeurs résultantes sont répertoriées dans le tableau 2. La dépendance de la pression critique de flambage sur le pré-étirement axial non dimensionnel l est présentée sur la figure 11a. Le diagramme de phase \((l, p_{intr})\) est illustré à la Fig. 11b, où la frontière entre l'état de flambement et l'état de non-flambement est définie par l'équation. (13). Une visualisation des lois du tube analysées en couvrant le paramètre l est disponible à la Fig. 12. L'effet du pré-étirement est évident à de faibles pressions intra-muros, car la valeur initiale de l'aire normalisée devient plus petite pour des valeurs plus grandes du pré- paramètre d'étirement l. Le comportement intéressant qui se produit dans la région de contact (autour de \(-6000\) Pa) fera l'objet d'investigations futures.

(Panneau de gauche) Comparaison entre les données de simulation et Eq. (13). (Panneau de droite) Diagramme de phase pour la transition de phase de flambage en termes de rapport de pré-étirement l.

Lois du tube obtenues en enjambant la valeur du rapport de pré-étirage l. Les points noirs représentent la valeur des pressions critiques de flambage et les aires correspondantes estimées pour les différentes lois du tube.

Les résultats décrits dans « Pression critique de flambage » décrivent les dépendances fonctionnelles entre les grandeurs physiques utilisées pour décrire le comportement avant et après le flambage d'un tube pliable. Les valeurs absolues de la pression critique de flambage présentées dépendent cependant des paramètres géométriques qui sont maintenus fixes au cours des différentes analyses. Dans cette section, un ensemble d'équations générales capables d'estimer les valeurs de la pression critique de flambage, ainsi que la surface correspondante, pour un tube pliable de géométrie (raisonnablement) arbitraire sont dérivés. La méthode est basée sur une observation de Gregory et al.31 qui ont dérivé expérimentalement un ensemble de variables non dimensionnelles capables de regrouper approximativement différentes lois de tube sur une seule courbe. Ils ont prouvé qu'en redéfinissant la pression intra-muros, \(p_{intr}\), et l'aire de la section transversale centrale, A, sous la forme non dimensionnelle suivante

différentes lois de tube ont tendance à se fondre en une seule loi de tube générale non dimensionnelle (voir Fig. 13). La validité de cette affirmation a été prouvée expérimentalement pour la gamme de paramètres \((d,\gamma ,l)\) d'intérêt pour les flux biomédicaux31.

(Panneau de gauche) L'ensemble des lois du tube analysées dans ce travail. (Panneau de droite) Les lois de tube non dimensionnelles correspondantes obtenues par la transformation dans l'équation. (14). Les parcelles s'effondrent presque en une seule ligne. Le point noir indique les valeurs moyennes de la pression critique de flambement non dimensionnelle et la zone correspondante comme dans l'équation. (16).

En utilisant les variables non dimensionnelles définies dans l'expression (14), la procédure suivante a été mise en œuvre pour déterminer un ensemble d'équations générales non dimensionnelles pour la pression critique de flambement et la surface correspondante :

Pour tout triplet \((d,\gamma ,l)\) de paramètres géométriques, le modèle numérique correspondant est implémenté selon "Modèle numérique et méthodes".

La loi du tube correspondante, c'est-à-dire les deux ensembles \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), est calculé comme indiqué dans "La loi du tube".

La valeur de la pression critique de flambage et l'aire correspondante sont estimées à partir de la loi du tube en utilisant la procédure décrite dans "Estimation de la pression critique de flambage" .

Les valeurs des pressions critiques de flambement et les aires correspondantes, sont redéfinies selon l'Eq. (14).

De cette manière, les valeurs adimensionnelles des pressions critiques de flambement et les aires correspondantes sont calculées pour l'ensemble des paramètres géométriques étudiés dans cette étude. En d'autres termes, la sortie de cette procédure est les deux ensembles de valeurs suivants

correspondant à l'ensemble des pressions critiques de flambement adimensionnelles et des zones critiques de flambement, respectivement. L'indice i court sur les triplets de paramètres géométriques analysés dans cette étude et \(N=20\) indique leur nombre total. Comme le montre la Fig. 13, les lois de tube obtenues au moyen de l'Eq. (14) ne se résument pas exactement à une seule ligne, mais montrent plutôt une distribution de valeurs relativement faible. En calculant les moyennes et les écarts-types correspondants pour chaque ensemble dans l'Eq. (15) il est possible d'obtenir les expressions suivantes pour la pression critique de flambement et l'aire critique :

Étant donné tout triplet de paramètres géométriques \((d,\gamma , l)\), Eq. (16) estimer la valeur des pressions critiques de flambement et l'aire correspondante.

Dans ce travail, une étude systématique de la pression critique de flambement d'un tube pliable a été réalisée au moyen de simulations numériques 3D validées et d'une technique de post-traitement basée sur la théorie des transitions de phase. La dépendance fonctionnelle de telles pressions critiques en termes de paramètres géométriques a été présentée. Enfin, un ensemble d'équations générales non dimensionnelles pour l'estimation des pressions critiques de flambage, ainsi que les aires correspondantes de la section transversale centrale du tube, ont été dérivées. La méthodologie présentée dans ce travail permet une estimation rigoureuse et reproductible de la pression critique de flambement d'un tube pliable. Le principal avantage est qu'il ne nécessite aucune hypothèse géométrique, mais il est uniquement basé sur l'observation que le flambage d'un tube pliable peut être traité comme une transition de phase du second ordre, ce qui rend la méthode adaptée à d'autres types d'applications53, 54. implique que cette approche peut être directement utilisée pour estimer la pression critique de flambage dans des géométries complexes spécifiques au patient telles que les voies respiratoires pharyngées de patients souffrant d'apnée du sommeil, même en présence d'un écoulement de fluide, ce qui représente la suite naturelle de ce travail. Une autre perspective intéressante est la possibilité d'analyser la sensibilité des résultats présentés en termes d'autres théories hyperélastiques. Enfin, une analyse approfondie de la pression critique de contact sera l'objectif d'un travail futur.

Les algorithmes utilisés dans ce travail peuvent être trouvés sur https://github.com/MarcoLaud/CollapsibleTube. Les données de simulation peuvent être fournies sur demande raisonnable en contactant l'auteur correspondant de ce travail.

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Le projet est financé par KTH Engineering Mechanics dans les domaines thématiques Biomechanics, Health and Biotechnology (BHB) et le Swedish Research Council Grant VR 2020-04857. Les auteurs remercient PRACE d'avoir accordé l'accès aux ressources de l'infrastructure Fenix ​​à CINECA, qui sont partiellement financées par le programme de recherche et d'innovation Horizon 2020 de l'Union européenne par le biais du projet ICEI dans le cadre de l'accord de subvention n° 800858. Les simulations ont été partiellement exécutées sur le réseau national suédois. Ressources d'infrastructure pour l'informatique (SNIC) au PDC Center for High Performance Computing (PDC-HPC). Les auteurs tiennent à remercier le Dr E. Nocerino pour les discussions fructueuses sur la théorie de la transition de phase.

Financement en libre accès fourni par le Royal Institute of Technology.

Department of Engineering Mechanics, FLOW Research Center, KTH Royal Institute of Technology, 10044, Stockholm, Suède

Marco Laudato, Roberto Mosca et Mihai Mihaescu

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ML a conçu les simulations et les techniques de post-traitement. RM a collaboré à la mise en œuvre des simulations. MM a initié le projet et a collaboré à l'analyse des résultats. Tous les auteurs ont examiné le manuscrit.

Correspondance à Marco Laudato.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Laudato, M., Mosca, R. & Mihaescu, M. Pressions critiques de flambage dans les tubes pliables pertinents pour les flux biomédicaux. Sci Rep 13, 9298 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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Reçu : 12 avril 2023

Accepté : 05 juin 2023

Publié: 08 juin 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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